行列式降阶法怎么用公式表示

1、行列式降阶法怎么用

行列式降阶法，也被称作初等变换法，是线性代数中非常重要的方法之一。它可以被广泛地应用于矩阵的简化、解方程组和计算特征值等领域。本文将简要地解释什么是行列式降阶法，以及如何应用这一方法。

在进行行列式降阶法之前，我们需要先了解什么是行列式。行列式是一个非常重要的概念，它是一个$n$阶矩阵的一个标量值。一般地，$n$阶行列式可以记作$|A|$，其中$A$是一个$n$阶矩阵。行列式可以被用来计算矩阵的面积、体积和方向等信息。

行列式降阶法是一种通过对矩阵进行一系列初等行变换来简化矩阵的方法。初等行变换包括三种类型：交换矩阵的两行、将某一行乘以非零标量、将某一行加上另外一行的某个倍数。这些变换可以用来改变矩阵的相对位置和比例，从而得到新的矩阵。这些新的矩阵可以更容易地进行计算。由于初等行变换不会改变矩阵的行列式，因此行列式可以被用来判断两个矩阵是否等价。

下面我们将用一个例子来说明如何使用行列式降阶法。假设我们有一个$3\times3$的矩阵$A$，它的各个元素为：

$$

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$

现在我们想要将矩阵$A$通过一系列初等行变换简化为阶梯形矩阵。步骤如下：

1. 首先将第二行乘以$-1$：

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -4 & -5 & -6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

$$

2. 接着将第三行减去第一行的$7$倍：

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -4 & -5 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}

$$

3. 最后将第三行减去第二行的$2$倍：

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -4 & -5 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$

这个新的矩阵是一个阶梯形矩阵，也就是说它符合阶梯形矩阵的定义。在阶梯形矩阵中，每一行的第一个非零元素（称作主元）都比上一行要靠右。通过使用行列式降阶法，我们可以快速地将矩阵转换为这种形式。

行列式降阶法有非常广泛的应用。在矩阵求逆、计算特征值和特征向量、解线性方程组等问题中，行列式降阶法都是非常重要的工具。无论是在数学、物理还是工程领域，熟练地掌握行列式降阶法都会带来巨大的帮助。

2、行列式降阶法怎么用公式表示

行列式降阶法，也称为高斯消元法，是解线性方程组的一种常用方法。该方法通过对系数矩阵进行初等行变换，将方程组化为简化的梯形矩阵或阶梯矩阵，从而求解出未知数的值。本文将介绍如何用公式表示行列式降阶法。

假设有一个线性方程组：

$$

\begin{cases}

a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\

a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\

\vdots\\

a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\

\end{cases}

$$

其中，$a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$为系数矩阵中的元素，$b_i(i=1,2,\cdots,n)$为常数项，$x_i(i=1,2,\cdots,n)$为未知数。我们可以将该方程组用矩阵表示：

$$

\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x_1\\

x_2\\

\vdots\\

x_n\\

\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}

b_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}

$$

我们用$A$表示系数矩阵，用$B$表示常数项列向量，用$X$表示未知数列向量，则原方程组可表示为$AX=B$。

现在，我们要通过行列式降阶法求解该方程组。具体步骤如下：

1. 对$A$进行初等行变换，将$A$化为阶梯矩阵$U$。

2. 对$B$也进行相同的初等行变换，得到新的常数项列向量$C$。

3. 解出$Ux=C$的解$x$。

下面是具体的公式表示：

1. 对$A$进行初等行变换：

（1）交换$A$中的任意两行：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}\xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j}\begin{vmatrix}

a_{i1} & a_{i2} &\cdots &a_{in}\\

a_{j1} & a_{j2} &\cdots &a_{jn}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}

$$

（2）将某行乘以非零常数$k$：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}\xrightarrow{k r_i}\begin{vmatrix}

ka_{i1} & ka_{i2} &\cdots &ka_{in}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}

$$

（3）将某行乘以非零常数$k$后加到另一行上：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}\xrightarrow{r_i+k r_j}\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{i1}+k a_{j1} & a_{i2}+k a_{j2} &\cdots &a_{in}+k a_{jn}\\

\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\

a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\

\end{vmatrix}

$$

2. 对$B$进行相同的初等行变换：

（1）交换$B$中的任意两行：

$$

\begin{pmatrix}

b_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}\xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j}\begin{pmatrix}

b_i\\

b_j\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}

$$

（2）将某行乘以非零常数$k$：

$$

\begin{pmatrix}

b_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}\xrightarrow{k r_i}\begin{pmatrix}

kb_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}

$$

（3）将某行乘以非零常数$k$后加到另一行上：

$$

\begin{pmatrix}

b_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}\xrightarrow{r_i+k r_j}\begin{pmatrix}

b_1\\

b_2\\

\vdots\\

b_i+k b_j\\

\vdots\\

b_n\\

\end{pmatrix}

$$

3. 解出$Ux=C$的解$x$：

将矩阵$U$化为阶梯形矩阵或简化的阶梯形矩阵后，通过回代法求得解$x$，即：

$$

x_n=\frac{c_n}{a_{nn}},\quad x_{n-1}=\frac{c_{n-1}-a_{n-1,n}x_n}{a_{n-1,n-1}},\quad \cdots,\quad x_1=\frac{c_1-a_{12}x_2-\cdots-a_{1n}x_n}{a_{11}}

$$

至此，我们就用公式表示了行列式降阶法的步骤。需要注意的是，行列式降阶法只对有唯一解的线性方程组有效，对于无解或有无穷多解的方程组，该方法不适用。