二项分布和超几何分布的公式

1、超几何分布公式

超几何分布公式是统计学中的一种概率分布，它描述了从有限大数量的集合中随机选择样本的概率分布，不同于另一种著名的概率分布，二项分布。超几何分布公式在模拟实验和调查中都被广泛应用，具有重要的实际意义。

超几何分布公式的概率分布函数如下：

$P(X=k) = \frac{{M \choose k} {N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}$

其中 $N$ 表示总共的物品数量，$M$ 表示其中有 $M$ 种是我们感兴趣的， $n$ 表示我们随机抽取的物品数量，而 $k$ 表示在这 $n$ 个物品中恰好有 $k$ 种属于我们感兴趣的物品。

思考一个具体的例子，我们从一桶中有 $20$ 只球，其中有 $8$ 只是蓝色的，剩下的 $12$ 只是红色的。现在我们随机地从中抽取 $5$ 只球，那么恰好有 $3$ 只蓝色球的概率是多少？

根据超几何分布公式，我们可以求出概率为：

$P(X=3) = \frac{{8 \choose 3} {12 \choose 2}}{{20 \choose 5}} \approx 0.0572$

这意味着，从 $20$ 只球中随机抽取 $5$ 只球中，恰好有 $3$ 只蓝色球的概率只有 $5.72\%$，所以这是一个比较少见的情况。

需要注意的是，超几何分布与二项分布的不同之处在于，超几何分布中每次抽取都会影响下一次的可能性，并且在总的物品数量固定的前提下，抽取数量的变化也会影响结果。这一点与二项分布不同，因为二项分布假设每次抽取都是独立的，因此每次抽取的成功与否不影响下次的可能性。

超几何分布公式是一个重要的概率分布函数，它在实际应用中非常有用。它能够帮助我们更好地理解一些实际问题，也可以用来进行模拟实验和统计分析。

2、二项分布和超几何分布的公式

二项分布和超几何分布是概率统计中经常使用的两个概率分布，二者都可以用于描述一个成功与失败的随机试验中的概率问题，并且两者的公式也有一定的相似性。

我们来看二项分布的公式。二项分布是指在一系列独立的同质试验中，每次试验的结果只有两种可能，且每次试验都有相同的成功概率p，那么x次成功的概率就可以用二项分布来描述。其公式为：

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中，n表示试验次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。

接下来，我们来看超几何分布的公式。超几何分布是指在有限个物品中，其中有M件具有某种性质，而从中不放回地抽取n件物品，其中k件具有该性质的概率。其公式为：

P(X=k) = C(M,k) * C(N-M,n-k) / C(N,n)

其中，M表示具有该性质的物品数量，N表示总物品数量，n表示抽取的物品数量，k表示抽取的物品中具有该性质的数量。

二项分布和超几何分布的公式相似之处在于，它们都涉及到组合数的计算。但不同之处在于，二项分布中的试验是有放回的，每次试验的成功概率是相同的，而超几何分布中的抽取是不放回的，每次抽取的概率是不同的。

在实际应用中，二项分布和超几何分布可以用于股票涨跌、投资收益率、产品质量检验等方面的分析和决策。例如，在产品检验中，若我们知道了产品的次品率和检验的批次数，那么可以使用二项分布来计算在不同的检验批次中，制造出的次品数量的概率分布。而若我们知道了产品总数和其中的有缺陷产品数量，那么可以使用超几何分布来计算在抽取不同数量的产品时，出现有缺陷产品的概率分布。

二项分布和超几何分布是概率统计中非常实用的两个概率分布，它们的公式有着一定的相似性，但在实际应用中各有各的应用场景和优势。